Hình ảnh kinh điển về sự ra đời của toán học là sai. Chúng ta thường tưởng tượng một nhà hiền triết Hy Lạp, khoác áo choàng, vẽ những hình tam giác hoàn hảo trên cát trong khi chiêm ngưỡng bản chất của vũ trụ.
Đó là một hình ảnh cao quý, đầy chất thơ và hoàn toàn sai lầm. Thực tế kém hào nhoáng hơn nhiều. Toán học không ra đời từ sự tò mò trí tuệ thuần túy, mà từ nhu cầu xám xịt và dai dẳng nhất của con người: quản lý hành chính.
Để hiểu điều này, chúng ta phải du hành về những thành phố đầu tiên trên thế giới, ở Lưỡng Hà, hơn 5.000 năm trước.
Những nơi như Uruk không phải là các cộng đồng nhỏ; chúng là những đô thị nhộn nhịp với hàng chục nghìn cư dân, những ngôi đền khổng lồ, quân đội và trên hết là bộ máy hành chính. Và bộ máy hành chính, dù trước đây hay bây giờ, chỉ vận hành bằng một loại nhiên liệu duy nhất: sổ sách ghi chép.
Lưỡng Hà, cái nôi (và văn phòng) của nền văn minh
Cái tên «Lưỡng Hà» có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp và có nghĩa đen là «vùng đất giữa hai con sông», đề cập đến vùng đồng bằng màu mỡ nằm giữa hai con sông Tigris và Euphrates, phần lớn thuộc Iraq ngày nay.
Gọi nơi đây là phòng thí nghiệm đầu tiên của đời sống đô thị quy mô lớn của nhân loại không hề phóng đại. Chính tại đây đã xuất hiện những thành phố đầu tiên, phát minh ra bánh xe, chữ viết (hình nêm), các bộ luật đầu tiên (như bộ luật Hammurabi) và kiến trúc hoành tráng (các ziggurat).
Toàn bộ sự đổi mới này không phát sinh từ sự yên bình, mà từ nhu cầu quản lý một dân số ngày càng tăng, các nguồn lực phức tạp và một môi trường khó lường. Và để quản lý tất cả những điều đó, họ đã phát minh ra công cụ mạnh mẽ nhất: bộ máy hành chính có hệ thống.
Vấn đề cơ bản của một thành bang là quản lý nguồn lực. Có bao nhiêu bao thóc trong kho của đền thờ? Một người chăn cừu nộp bao nhiêu con cừu cho cung điện như một khoản cống nạp? Trả bao nhiêu bình bia cho những công nhân xây dựng ziggurat? Trả lời những câu hỏi này mà không có một hệ thống đáng tin cậy là điều không thể. Trí nhớ con người rất mong manh và, thành thật mà nói, rất dễ bị bóp méo.
Giải pháp đầu tiên có sự đơn giản gần như thô bạo: sự tương ứng một-một. Không có ký hiệu hay sự trừu tượng hóa nào. Để ghi lại một món nợ năm con cừu, người ta không viết gì cả. Chỉ đơn giản là dùng năm viên sỏi. Mười bình dầu được biểu thị bằng mười cái thẻ đất sét có hình dạng cụ thể. Mỗi vật thể vật lý trong thế giới thực đều có một đại diện vật lý trong hệ thống kế toán.
Hệ thống này trực tiếp và trực quan cho các giao dịch của một ngôi làng nhỏ, nhưng hoàn toàn sụp đổ ở một đô thị như Uruk, nơi quản lý nguồn lực của hàng chục nghìn người. Hãy tưởng tượng bạn là người quản lý đền thờ và phải xử lý hàng nghìn giao dịch mỗi ngày. Văn phòng của bạn sẽ thực sự ngập trong hàng triệu viên sỏi, vỏ sò và thẻ đất sét. Đó sẽ là một sự hỗn loạn về mặt hậu cần, không thể kiểm chứng và cực kỳ dễ bị tham nhũng. Ai đó lấy trộm một cái thẻ hay nó chỉ đơn giản là bị rơi mất dưới một chiếc dép? Không thể biết được.
Thẻ đất sét: Excel của thời kỳ đồ đồng
Đây là lúc câu chuyện trở nên thú vị. Trong nhiều thập kỷ, các nhà khảo cổ đã tìm thấy hàng nghìn mảnh đất sét nhỏ với các hình dạng hình học trên khắp vùng Cận Đông: hình nón, hình cầu, hình đĩa, hình trụ.
Lúc đầu, họ nghĩ đó là những lá bùa, quân cờ của một trò chơi bàn cờ nào đó đã bị lãng quên hay chỉ đơn giản là đồ chơi. Sự thật, như nhà khảo cổ học Denise Schmandt-Besserat đã chứng minh, còn cách mạng hơn nhiều: chúng là công cụ kế toán. Mỗi hình dạng đại diện cho một loại hàng hóa cụ thể. Một hình nón có thể có nghĩa là một đơn vị nhỏ ngũ cốc, một hình cầu là một đơn vị lớn, và một hình trụ đại diện cho một con gia súc. Nếu một nông dân nợ đền thờ 30 bình dầu, người quản lý sẽ lấy 30 thẻ hình bầu dục (tượng trưng cho bình dầu) làm bằng chứng cho món nợ. Đó là một hệ thống kế toán vật lý, một bước đầu tiên hướng tới sự trừu tượng hóa.
Denise Schmandt-Besserat (sinh năm 1993 và vẫn còn hoạt động cho đến nay) là một nhà khảo cổ học người Pháp gốc Mỹ đã cách mạng hóa sự hiểu biết của chúng ta về nguồn gốc chữ viết. Lý thuyết có ảnh hưởng nhất của bà cho rằng chữ viết tiến hóa từ một hệ thống kế toán cổ đại sử dụng những thẻ đất sét nhỏ (token) để ghi lại hàng hóa ở vùng Cận Đông cổ đại.
Hệ thống này rất tài tình, nhưng có một vấn đề về an ninh. Làm thế nào để đảm bảo không ai thêm hoặc bớt thẻ trong túi? Giải pháp của người Sumer thật xuất sắc: họ cho những thẻ tương ứng với một giao dịch vào một quả cầu đất sét rỗng, gọi là bulla, rồi niêm phong nó lại. Để kiểm tra nội dung, phải phá vỡ quả bulla. Đó là tương đương với một phong bì bảo mật thời cổ đại.
Nhưng điều này tạo ra một vấn đề mới: cách duy nhất để biết bên trong có gì là phá vỡ phong bì. Giải pháp là bắt đầu ấn các thẻ lên bề mặt ẩm của quả bulla trước khi niêm phong chúng bên trong. Bằng cách này, mặt ngoài của quả cầu đất sét hiển thị dấu ấn của các thẻ chứa bên trong.
Và rồi, một người nào đó đã có một khoảnh khắc lóe sáng thay đổi tất cả. Nếu các dấu hiệu ở bên ngoài đã đại diện cho các thẻ ở bên trong... thì chúng ta cần các thẻ để làm gì? Họ từ bỏ các thẻ và bắt đầu vẽ các ký hiệu trực tiếp lên những tấm bảng đất sét phẳng. Họ không phát minh ra toán học vì niềm vui; họ đang tối ưu hóa hệ thống kế toán của mình. Các con số trừu tượng và chữ viết hình nêm ra đời gần như đồng thời từ nhu cầu thuần túy hành chính này.
<quizid="89e38ba1-1a7a-412d-a9dc-8210209740ce" type="multipleChoice" subtype="singleAnswer" points="1" responseTimeSeconds="50"> Dựa trên hệ thống thẻ của người Sumer, nếu một hình nón đại diện cho «một đơn vị ngũ cốc» và một hình cầu đại diện cho «mười đơn vị ngũ cốc», làm thế nào để ghi lại một số lượng 23 đơn vị ngũ cốc?
options:
- Sử dụng 23 thẻ hình nón.
- *Sử dụng 2 thẻ hình cầu và 3 thẻ hình nón.
- Sử dụng 3 thẻ hình cầu và 2 thẻ hình nón.
- Sử dụng một thẻ đặc biệt duy nhất có 23 dấu.
feedback: Hệ thống của người Sumer, mặc dù cụ thể, đã sử dụng một hình thức hiệu quả bằng cách gộp số lượng. Việc sử dụng các thẻ có giá trị lớn hơn (hình cầu) cho hàng chục và các thẻ giá trị nhỏ hơn (hình nón) cho hàng đơn vị là bước đầu tiên hướng tới một hệ thống số theo vị trí, tương tự như cách chúng ta sử dụng các chữ số ngày nay để biểu thị hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, v.v. Điều này cho thấy ý tưởng về cơ số (trong trường hợp này là cơ số 10 cho ngũ cốc) nảy sinh từ nhu cầu thực tế phải xử lý số lượng lớn một cách hiệu quả. </quiz>
Ai Cập và sự thống trị của sông Nile
Trong khi người Sumer hoàn thiện công tác kế toán của họ, một nền văn minh vĩ đại khác phải đối mặt với một vấn đề khác nhưng cũng đầy tính toán số: Ai Cập. Toàn bộ đời sống Ai Cập xoay quanh sông Nile và trận lũ hàng năm của nó. Chu kỳ có thể dự đoán này là nguồn gốc của sự giàu có nông nghiệp của họ, nhưng nó cũng tạo ra một cơn đau đầu hành chính khổng lồ.
Mỗi năm, nước sông dâng cao xóa sạch hoàn toàn ranh giới của các thửa ruộng canh tác. Khi nước rút, tất cả là một biển bùn màu mỡ, nhưng đâu là nơi đất của bạn bắt đầu và đất của hàng xóm kết thúc? Đối với nhà nước Pharaoh, đây không phải là một câu hỏi tầm thường. Thuế dựa trên diện tích đất canh tác mà mỗi nông dân sở hữu. Không có ranh giới rõ ràng, không có thuế công bằng, và không có thuế, không có nhà nước.
Giải pháp là hình học, mà cái tên của nó, trên thực tế, có nghĩa là «đo đạc đất đai». Các đội đo đạc, được gọi là «những người kéo căng dây thừng», được cử đi hàng năm để đo lại và xác định ranh giới từng thửa đất. Họ không phải đang chứng minh các định lý trừu tượng; họ đang thực hiện một nhiệm vụ thuế khóa cơ bản.
Cuộn giấy cói Rhind, một trong những văn bản toán học cổ xưa nhất mà chúng ta có, về cơ bản là một cuốn sổ tay đào tạo cho các quản trị viên này. Tên gốc của nó là: «Tính toán chính xác để hiểu biết về mọi vật tồn tại và mọi bí mật tăm tối». Nghe có vẻ thần bí, nhưng các bài toán chứa trong đó lại thực dụng một cách tàn nhẫn: tính diện tích một cánh đồng hình tam giác, thể tích một vựa lúa hình trụ để biết nó có thể chứa bao nhiêu thóc, hoặc cách chia 100 ổ bánh mì cho 10 người một cách không đồng đều.
Đây không phải là những bài tập lý thuyết. Chúng là những vấn đề hàng ngày của một đế chế cần nuôi sống quân đội, xây dựng kim tự tháp và trên hết là thu thuế một cách hiệu quả. Toán học Ai Cập, với trọng tâm là phân số và các phép tính thực tế, là một công nghệ kiểm soát xã hội và kinh tế. Vậy, cuốn sổ tay thực địa dành cho các quan chức sông Nile này thực sự chứa loại toán học nào? Khi phân tích nó, chúng ta thấy một hộp công cụ hấp dẫn và rất đặc biệt.
Điều nổi bật nhất là sự ám ảnh với phân số, nhưng chỉ với «phân số đơn vị», tức là những phân số có tử số là 1 (( \frac{1}{2} ), ( \frac{1}{3} ), ( \frac{1}{7} ), ( \frac{1}{30} ), v.v.). Với ngoại lệ kỳ lạ của ( \frac{2}{3} ), vốn có ký hiệu riêng, người Ai Cập không công nhận các phân số như ( \frac{3}{5} ) hay ( \frac{5}{8} ). Thay vào đó, họ biểu thị chúng dưới dạng tổng của các phân số đơn vị duy nhất. Ví dụ, đối với họ, ( \frac{2}{5} ) không phải là ( \frac{2}{5} ), mà là ( \frac{1}{3} + \frac{1}{15} ). Điều này khiến những phép tính đơn giản đối với chúng ta trở thành một quá trình rườm rà đòi hỏi các bảng quy đổi khổng lồ.
Trong hình học, cuộn giấy cói đưa ra các công thức chính xác để tính diện tích hình tam giác và hình thang, rất cần thiết cho việc đo đạc ruộng đất.
Nhưng thành tựu lớn nhất của nó ở đây, không nghi ngờ gì, là một trong những phép tính gần đúng đầu tiên được ghi chép lại của số Pi (π). Phương pháp của người Ai Cập để tính diện tích hình tròn tương đương với việc sử dụng giá trị của Pi xấp xỉ 3.1605. Nếu xét giá trị thực là ~3.14159, kết quả của họ cực kỳ chính xác so với thời đại đó.
Và có lẽ thứ tiên tiến nhất mà nó chứa là các bài toán mà ngày nay chúng ta xếp vào loại đại số. Họ đưa ra các tình huống như: «Một số lượng và một phần bảy của nó cộng lại bằng 19. Số lượng đó là bao nhiêu?». Họ gọi số lượng chưa biết này là aha. ```latex ext{aha} + \frac{ ext{aha}}{7} = 19 ``` Giải các bài toán aha này đòi hỏi một logic về phép nghịch đảo và tỷ lệ, đại diện cho bậc thang đầu tiên hướng tới tư duy đại số trừu tượng.
Vì vậy, lần tới khi bạn đối mặt với một phương trình, đừng nghĩ đến một thiên tài Hy Lạp. Hãy nghĩ đến một quan chức Sumer cố gắng không bị mất trộm thóc, hoặc một người đo đạc Ai Cập với bùn lấm tới đầu gối. Toán học không giáng xuống từ thiên đường; nó nảy sinh từ bùn đất, từ mồ hôi và từ nhu cầu không ngừng nghỉ, tất yếu và mang tính con người là phải tính toán cho rõ ràng, minh bạch.