Το θεμελιώδες πρόβλημα μιας πόλης-κράτους είναι η διαχείριση των πόρων. Πόσα σακιά σιτηρά υπάρχουν στην αποθήκη του ναού; Πόσα πρόβατα οφείλει ένας βοσκός στο παλάτι ως φόρο υποτέλειας; Πόσες κανάτες μπίρας πληρώνονται στους εργάτες που χτίζουν το ζιγκουράτ; Το να απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις χωρίς ένα αξιόπιστο σύστημα είναι αδύνατο. Η ανθρώπινη μνήμη είναι εύθραυστη και, ας είμαστε ειλικρινείς, εύκολα διαφθείρεται.

Η πρώτη λύση ήταν σχεδόν ωμή στην απλότητά της: η αντιστοίχιση ένα προς ένα. Δεν υπήρχαν σύμβολα ή αφαιρέσεις. Για να καταγραφεί ένα χρέος πέντε προβάτων, δεν έγραφαν τίποτα. Απλώς χρησιμοποιούσαν πέντε βότσαλα. Δέκα κανάτες λαδιού αντιπροσωπεύονταν με δέκα πήλινα σύμβολα συγκεκριμένου σχήματος. Κάθε φυσικό αντικείμενο στον πραγματικό κόσμο είχε ένα φυσικό αντιπρόσωπο στο λογιστικό σύστημα.

Αυτό το σύστημα είναι άμεσο και διαισθητικό για τις συναλλαγές μιας μικρής κωμόπολης, αλλά καταρρέει ολοκληρωτικά σε μια μητρόπολη όπως το Ουρούκ, που διαχειριζόταν πόρους δεκάδων χιλιάδων ανθρώπων. Φαντάσου να είσαι ο διαχειριστής του ναού και να πρέπει να χειρίζεσαι χιλιάδες καθημερινές συναλλαγές. Το γραφείο σου θα ήταν κυριολεκτικά πλημμυρισμένο από εκατομμύρια βότσαλα, κοχύλια και πήλινα σύμβολα. Θα ήταν ένα υλικοτεχνικό χάος, αδύνατο να επαληθευτεί και γελοία εύκολο να διαφθαρεί. Έκλεψε κάποιος ένα σύμβολο ή απλώς χάθηκε κάτω από ένα σανδάλι; Αδύνατο να το μάθεις.

Πήλινα σύμβολα: Το Excel της Εποχής του Χαλκού

Εδώ είναι που η ιστορία γίνεται ενδιαφέρουσα. Οι αρχαιολόγοι, για δεκαετίες, έβρισκαν χιλιάδες μικρά πήλινα κομμάτια με γεωμετρικά σχήματα σε όλη την Εγγύς Ανατολή: κώνοι, σφαίρες, δίσκοι, κύλινδροι.

Στην αρχή, νόμιζαν ότι ήταν φυλαχτά, κομμάτια κάποιου ξεχασμένου επιτραπέζιου παιχνιδιού ή απλά παιχνίδια. Η πραγματικότητα, όπως απέδειξε η αρχαιολόγος Denise Schmandt-Besserat, ήταν πολύ πιο επαναστατική: ήταν λογιστικά εργαλεία. Κάθε σχήμα αντιπροσώπευε ένα συγκεκριμένο εμπόρευμα. Ένας κώνος μπορούσε να σημαίνει ένα μικρό μέτρο σιτηρών, μια σφαίρα ένα μεγάλο μέτρο, και ένας κύλινδρος αντιπροσώπευε ένα κεφάλι βοοειδούς. Αν ένας αγρότης χρωστούσε 30 κανάτες λάδι στο ναό, ένας διαχειριστής έπαιρνε 30 σύμβολα σε σχήμα ωοειδές (που αντιπροσώπευαν κανάτες λαδιού) ως καταγραφή του χρέους. Ήταν ένα φυσικό λογιστικό σύστημα, ένα πρώτο βήμα προς την αφαίρεση.

Η Denise Schmandt-Besserat (γεννημένη το 1933 και ενεργή έως σήμερα) είναι μια γαλλοαμερικανίδα αρχαιολόγος που επανάστασε την κατανόησή μας για την προέλευση της γραφής. Η πιο επιδραστική θεωρία της υποστηρίζει ότι η γραφή εξελίχθηκε από ένα αρχαίο λογιστικό σύστημα που χρησιμοποιούσε μικρά πήλινα σύμβολα για την καταγραφή αγαθών στην αρχαία Εγγύς Ανατολή.

Αυτό το σύστημα ήταν ευφυές, αλλά είχε πρόβλημα ασφάλειας. Πώς βεβαιώνεσαι ότι κανείς δεν προσθέτει ή αφαιρεί σύμβολα από την τσάντα; Η σουμεριακή λύση ήταν λαμπρή: έβαζαν τα σύμβολα που αντιστοιχούσαν σε μια συναλλαγή μέσα σε μια κοίλη πήλινη σφαίρα, που ονομαζόταν bulla, και τη σφράγιζαν. Για να επαληθεύσουν το περιεχόμενο, έπρεπε να σπάσουν τη bulla. Ήταν το αντίστοιχο ενός αρχαίου φακέλου ασφαλείας.

Αλλά αυτό δημιούργησε ένα νέο πρόβλημα: ο μόνος τρόπος να μάθεις τι υπήρχε μέσα ήταν να σπάσεις τον φάκελο. Η λύση ήταν να αρχίσουν να πιέζουν τα σύμβολα πάνω στην υγρή επιφάνεια της bulla πριν τα σφραγίσουν μέσα. Έτσι, το εξωτερικό της πήλινης σφαίρας έδειχνε ένα αποτύπωμα των συμβόλων που περιείχε.

Και τότε, κάποιος είχε την επιφοίτηση που τα άλλαξε όλα. Αν τα σημάδια στο εξωτερικό ήδη αντιπροσωπεύουν τα σύμβολα του εσωτερικού... γιατί χρειαζόμαστε τα σύμβολα; Εγκατέλειψαν τα σύμβολα και άρχισαν να σχεδιάζουν τα σύμβολά τους απευθείας πάνω σε επίπεδες πήλινες πινακίδες. Δεν επινόησαν τα μαθηματικά για ευχαρίστηση· βελτιστοποιούσαν το λογιστικό τους σύστημα. Οι αφηρημένοι αριθμοί και η σφηνοειδής γραφή γεννήθηκαν σχεδόν ταυτόχρονα από αυτή την καθαρά διοικητική ανάγκη.

<quizid="89e38ba1-1a7a-412d-a9dc-8210209740ce" type="multipleChoice" subtype="singleAnswer" points="1" responseTimeSeconds="50"> Με βάση το σουμεριακό σύστημα συμβόλων, αν ένας κώνος αντιπροσωπεύει «ένα μέτρο σιτηρών» και μια σφαίρα αντιπροσωπεύει «δέκα μέτρα σιτηρών», πώς θα καταγραφόταν μια ποσότητα 23 μέτρων σιτηρών;

options:

• Χρησιμοποιώντας 23 σύμβολα κώνου.
• *Χρησιμοποιώντας 2 σύμβολα σφαίρας και 3 σύμβολα κώνου.
• Χρησιμοποιώντας 3 σύμβολα σφαίρας και 2 σύμβολα κώνου.
• Χρησιμοποιώντας ένα μόνο ειδικό σύμβολο με 23 σημάδια.

feedback: Το σουμεριακό σύστημα, αν και συγκεκριμένο, χρησιμοποιούσε ήδη μια μορφή αποδοτικότητας ομαδοποιώντας τις ποσότητες. Η χρήση συμβόλων μεγαλύτερης αξίας (σφαίρες) για τις δεκάδες και συμβόλων μικρότερης αξίας (κώνοι) για τις μονάδες είναι το πρώτο βήμα προς ένα αριθμητικό σύστημα θέσης, παρόμοιο με το πώς χρησιμοποιούμε σήμερα τα ψηφία για να αναπαραστήσουμε μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ. Αυτό δείχνει ότι η ιδέα της αριθμητικής βάσης (σε αυτή την περίπτωση, βάση 10 για τα σιτηρά) προέκυψε από την πρακτική ανάγκη διαχείρισης μεγάλων ποσοτήτων με αποδοτικό τρόπο. </quiz>

Αίγυπτος και η τυραννία του Νείλου

Ενώ οι Σουμέριοι τελειοποιούσαν τη λογιστική τους, άλλος ένας μεγάλος πολιτισμός αντιμετώπιζε ένα διαφορετικό αλλά εξίσου αριθμητικό πρόβλημα: η Αίγυπτος. Όλη η αιγυπτιακή ζωή περιστρεφόταν γύρω από τον Νείλο και την ετήσια πλημμύρα του. Αυτός ο προβλέψιμος κύκλος ήταν η πηγή του γεωργικού τους πλούτου, αλλά δημιουργούσε επίσης έναν κολοσσιαίο διοικητικό πονοκέφαλο.

Κάθε χρόνο, η άνοδος της στάθμης του ποταμού έσβηνε εντελώς τα όρια των καλλιεργήσιμων αγροτεμαχίων. Όταν τα νερά υποχωρούσαν, όλα ήταν μια θάλασσα γόνιμης λάσπης, αλλά πού άρχιζε η γη σου και πού τελείωνε του γείτονά σου; Για το φαραωνικό κράτος, αυτό δεν ήταν ένα ασήμαντο ερώτημα. Οι φόροι βασίζονταν στην έκταση της καλλιεργήσιμης γης που κατείχε κάθε αγρότης. Χωρίς σαφή όρια, δεν υπάρχουν δίκαιοι φόροι, και χωρίς φόρους, δεν υπάρχει κράτος.

Η λύση ήταν η γεωμετρία, το όνομα της οποίας, στην πραγματικότητα, σημαίνει «μέτρηση της γης». Ομάδες τοπογράφων, που ονομάζονταν «αυτοί που τεντώνουν το σχοινί», στέλνονταν κάθε χρόνο για να ξαναμετρήσουν και να οριοθετήσουν κάθε αγροτεμάχιο. Δεν δοκίμαζαν αφηρημένα θεωρήματα· εκτελούσαν ένα θεμελιώδες φορολογικό καθήκον.

Ο Πάπυρος του Ριντ, ένα από τα αρχαιότερα μαθηματικά κείμενα που διαθέτουμε, είναι ουσιαστικά ένα εγχειρίδιο εκπαίδευσης για αυτούς τους διαχειριστές. Ο αρχικός του τίτλος ήταν: «Ακριβής υπολογισμός για να έλθεις σε γνώση όλων των υπαρχόντων πραγμάτων και όλων των σκοτεινών μυστικών». Ακούγεται μυστικιστικό, αλλά τα προβλήματα που περιέχει είναι σκληρά πρακτικά: υπολογισμός του εμβαδού ενός τριγωνικού χωραφιού, του όγκου ενός κυλινδρικού σιτοβολώνα για να μάθεις πόσο σιτάρι μπορεί να αποθηκεύσει, ή πώς να μοιράσεις 100 καρβέλια ψωμί σε 10 άνδρες με άνισο τρόπο.

Αυτά δεν ήταν θεωρητικές ασκήσεις. Ήταν τα καθημερινά προβλήματα μιας αυτοκρατορίας που χρειαζόταν να θρέψει στρατούς, να χτίσει πυραμίδες και, κυρίως, να εισπράττει φόρους αποτελεσματικά. Τα αιγυπτιακά μαθηματικά, με την εστίασή τους στα κλάσματα και τους πρακτικούς υπολογισμούς, ήταν μια τεχνολογία κοινωνικού και οικονομικού ελέγχου. Τώρα, τι είδους μαθηματικά περιείχε ακριβώς αυτό το εγχειρίδιο πεδίου για τους γραφειοκράτες του Νείλου; Αναλύοντάς το, βλέπουμε μια συναρπαστική και πολύ ιδιαίτερη εργαλειοθήκη.

Το πιο εντυπωσιακό είναι η εμμονή του με τα κλάσματα, αλλά μόνο με τα «μοναδιαία κλάσματα», δηλαδή αυτά που έχουν 1 στον αριθμητή (( \frac{1}{2} ), ( \frac{1}{3} ), ( \frac{1}{7} ), ( \frac{1}{30} ), κ.λπ.). Με την περίεργη εξαίρεση του ( \frac{2}{3} ), που είχε το δικό του σύμβολο, οι Αιγύπτιοι δεν αντιλαμβάνονταν κλάσματα όπως ( \frac{3}{5} ) ή ( \frac{5}{8} ). Αντίθετα, τα αναπαριστούσαν ως αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων μοναδικών. Για παράδειγμα, για αυτούς, το ( \frac{2}{5} ) δεν ήταν ( \frac{2}{5} ), αλλά ( \frac{1}{3} + \frac{1}{15} ). Αυτό έκανε τους απλούς για εμάς υπολογισμούς να μετατρέπονται σε μια επίπονη διαδικασία που απαιτούσε τεράστιους πίνακες μετατροπής.

Στη γεωμετρία, ο πάπυρος προσφέρει ακριβείς τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού τριγώνων και τραπεζίων, απαραίτητους για την τοπογραφία.

Αλλά το μεγαλύτερο επίτευγμά του εδώ είναι, αναμφίβολα, μια από τις πρώτες καταγεγραμμένες προσεγγίσεις του αριθμού Πι (π). Η αιγυπτιακή μέθοδος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου ισοδυναμούσε με τη χρήση μιας τιμής για το Πι περίπου ίσης με 3.1605. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η πραγματική τιμή είναι ~3.14159, το αποτέλεσμά τους ήταν εξαιρετικά ακριβές για την εποχή τους.

Και ίσως το πιο προηγμένο που περιέχει είναι προβλήματα που σήμερα θα ταξινομούσαμε ως αλγεβρικά. Θέτουν σενάρια όπως: «Μια ποσότητα και το έβδομο μέρος της αθροίζουν σε 19. Ποια είναι η ποσότητα;». Αυτή την άγνωστη ποσότητα την ονόμαζαν aha. ```latex ext{aha} + \frac{ ext{aha}}{7} = 19 ``` Η επίλυση αυτών των προβλημάτων aha απαιτούσε μια λογική αντιστροφής και αναλογικότητας που αντιπροσωπεύει το πρώτο σκαλοπάτι προς την αφηρημένη αλγεβρική σκέψη.

Έτσι, την επόμενη φορά που θα βρεθείς αντιμέτωπος με μια εξίσωση, μη σκεφτείς έναν Έλληνα ιδιοφυΐα. Σκέψου έναν Σουμέριο γραφειοκράτη που προσπαθεί να μην του κλέψουν σιτηρά ή έναν Αιγύπτιο τοπογράφο με λάσπη μέχρι τα γόνατα. Τα μαθηματικά δεν κατέβηκαν από τους ουρανούς· αναδύθηκαν από τη λάσπη, τον ιδρώτα και την αδιάκοπη, αναπόφευκτη και ανθρώπινη ανάγκη να έχουμε καθαρούς λογαριασμούς.